parabola: PARABOLAS EN LA FISICA.

5)Algebra

haciendo un poco de algebra:
si sustituimos los puntos en la definicion, tenemos lo siguiente:

$d\left ( \overrightarrow{p,q} \right ) = d\left ( \overrightarrow{q,l} \right )$

entonces tenemos que:

$\sqrt{\left ( 0-x \right )^{2}+\left ( y-t \right )^{2}} = \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

y como sabemos A=0 y B=1, tenemos que:

$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}}=\frac{y+C}{B^{2}}$

por la definicion de parabola, sabemos que el punto sobre la recta (C) al origen, es el mismo que del origen al punto (P), por lo anterior tenemos que B=1

$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt}=y+t$

elevando las dos partes al cuadrado, tenemos que:

$\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}} \right )^{2}=\left ( y+t \right )^{2}$

en la primera parte se despeja la raiz cuadradoy la otra parte de la igualdad, desarrollamos la ecuacion:

$x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}=y^{2}-2yt-t^{2}$

la segunda parte de la igualdad, la pasamos al primer lado de la igualdad, con lo que tenemos:

$x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}-y^{2}-2yt-t^{2}=0$

sumamos el algebra, con lo que tenemos:

$x^{2}-4yt =0$

por ultimo,dejando a la x sola, tenemos que:

$\bg_green \large x^{2}=4yt$

dejando asi, la ecuacion de la parabola, recordemos que definimos a la recta por debajo del eje x, y el foco sobre el eje y,por lo que esta ecuacion se aplica con estas condiciones.

6)Analizando Parabolas

con la ecuacion anterior podemos darnos cuenta que t es el punto sobre la recta, pero como lo dijimos anteriormente, la distancia de la recta al origen, es la misma que del origen a un punto dado (p), a este punto se le llama foco.

la recta (l) se le llama directriz.

La recta que esta sobre el punto(p) y es perpendicular a la directriz se le llama eje de simetria.

El punto en el cual es el que esta mas abajo de la curva o parabola en los casos anteriores se encuentra en el origen, recibe el nombre de vertice (V).

Otro punto de analisis que podemos hacer es: si se aleja del origen, ya sea la directriz o el foco, los puntos que se encuentran en la parabola tendran que abrirse mas, en caso contrario, la parabola se acercara mas a su eje simetrico.

Un buen ejercicio es demostrar cuando las parabolas abren sobre los otros tres puntos cardinales restantes, en la siguiente imagen daremos el resultado de hacer estas demostraciones.

10)analizando

si queremos hacer un ejercicio de lo anterior, y nos dan los vertices, tan solo habra que sustituir los valores a (h,k) de la ecuacion y desarrollamos el algebra.

mas adelante veremos un ejemplo donde nos dan la directriz

Por otro lado, y utilizando la ecuacion:

$\bg_white \large \left ( y-k \right )^{2}=4p\left ( x-h \right )$

si p es mayor a cero entonces la parabola abre hacia la derecha.

si p es menor a cero, entonces la parabola abre hacia la izquierda

analogamente, si tomamos una parabola vertical, de la forma:

$\bg_white \large \left ( x-h \right )^{2}=4p\left ( y-k \right )$

los valores de p seran hacia arriba y hacia abajo respectivamente

jueves, 6 de mayo de 2010

PARABOLAS EN LA FISICA.

En la física es común la aparición de parábolas, ya sea en trayectorias como el movimiento parabolico de un cuerpo al caer en el campo gravitatorio de la tierra, o en la rama de la óptica con los espejos cóncavos.

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:
• Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.
• Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.
• Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal

En este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares. Tomaremos el eje X horizontal y el eje Y vertical. La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil. -mg.
$\sum F_{x}=0 ; \sum F_{y}=-mg$
Entonces, en virtud de la segunda ley de Newton:
$a_{x}=\frac{\sum F_{x}}{m}=0 ; a_{y}=\frac{\sum F_{y}}{m}=-g$
Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante
Supongamos que en el instante t = 0 nuestra partícula está situada en el punto $(x_{0},y_{0})$ y que las componentes de la velocidad son $(V_{x},V_{y})$ . Y las componentes de la aceleración son las citadas anteriormente. La variación de cada coordenada con el tiempo es la de un movimiento uniforme acelerado, entonces tenemos que las velocidades estan dadas por:
$V_{x}=V_{0x};V_{y}=V_{0y}-gt$
y las componentes de la posicion son:
$x=V_{0x}t;y=V_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2}$
Normalmente conviene tomar el origen en la posición inicial; así, $x_{0}=y_{0}=0$ , o sea, $r_{0}=0$ . esta puede ser por ejemplo, la posición de una pelota en el instante de abandonar la mano del lanzador o la posición de una bala en el instante en que sale del cañón del arma de fuego.

La figura muestra la trayectoria de un proyectil que pasa por el origen en el instante t = 0. La posición, la velocidad y las componentes de la velocidad del proyectil se representan en una serie de instantes separados por intervalos regulares. Como indica la figura $V_{x}$ no cambia, pero $V_{y}$ varía en los sucesivos intervalos en cantidades iguales, que corresponden a la aceleración constante en y.
La velocidad inicial $V_{0}$ puede representarse por su magnitud $V_{0}$ (la rapidez inicial) y el ángulo $\phi$ o que forma con la dirección positiva en x. En función de estas cantidades, las componentes de la velocidad inicial son:

$V_{0x}=V_{0}\cos \phi _{0};V_{0y}=V_{0}\sin \phi _{0}$
Si combinamos las ecuaciones que nos dan x y y como funciones del parametro comun t, y eliminamos este ultimo en ambas obtenemos:
$y=(\tan \phi _{0})x-\frac{gx^{2}}{2(V_{0}cos \phi _{0})^{2^{}}}$
que relaciona y a x, y que es la ecuacion de la trayectoria del proyectil.Puesto que $V_{0},\phi _{0}$ y g son constantes , esta ecuacion presenta la forma;
$y=bx-cx^{2}$
Es decir es la ecuacion de una parabola. De ahi que la trayectoria de un proyectil sea parabolica.
Por ultimo el alcance horizontal R del proyectil, se define como la distancia sobre la horizontal donde el proyectil retorna al nivel de donde fue lanzado.Podemos determinarlo haciendo