1)introduccion

En este blog primero se vera de una manera analitica las parabolas, empezando por su ecuacion cuando se encuentra en el origen, para despues seguir su estudio cuando la parabola se encuentra fuera del origen. Con esto iremos dando tanto problemas como ejercicios de manera gradual de menor a mayor dificultad

2)Definicion de Parabola

Dado el plano XY que pertenece a R²,y los puntos:


p=(0,t)


q=(x,y)


l=Ax+By+C


Def.- La distancia de un punto sobre el eje y a un punto sobre el plano, es el mismo que, del mismo punto anterior a uno sobre una recta, analiticamente lo podemos expresar como sigue:


d ( pq)=d( ql)

3)Imagen1

3)Imagen1

4)Antes de empezar

Antes de dar la ecuacion general de la parabola, debemos saber lo siguiente:



1)la distancia esta dada por:

dados los puntos:

r=(x₁,y₁) y (x₂,y₂)

√(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²






2)Dada la ecuacion general de la recta Ax+By+C=0

El vector perpendicular a la recta dada es: (A,B)

Entonces el vector que es paralela a la recta es: (-B,A)







5)Algebra

haciendo un poco de algebra:
si sustituimos los puntos en la definicion, tenemos lo siguiente:



entonces tenemos que:



y como sabemos A=0 y B=1, tenemos que:



por la definicion de parabola, sabemos que el punto sobre la recta (C) al origen, es el mismo que del origen al punto (P), por lo anterior tenemos que B=1



elevando las dos partes al cuadrado, tenemos que:



en la primera parte se despeja la raiz cuadradoy la otra parte de la igualdad, desarrollamos la ecuacion:



la segunda parte de la igualdad, la pasamos al primer lado de la igualdad, con lo que tenemos:



sumamos el algebra, con lo que tenemos:



por ultimo,dejando a la x sola, tenemos que:



dejando asi, la ecuacion de la parabola, recordemos que definimos a la recta por debajo del eje x, y el foco sobre el eje y,por lo que esta ecuacion se aplica con estas condiciones.

6)Analizando Parabolas

con la ecuacion anterior podemos darnos cuenta que t es el punto sobre la recta, pero como lo dijimos anteriormente, la distancia de la recta al origen, es la misma que del origen a un punto dado (p), a este punto se le llama foco.

la recta (l) se le llama directriz.

La recta que esta sobre el punto(p) y es perpendicular a la directriz se le llama eje de simetria.

El punto en el cual es el que esta mas abajo de la curva o parabola en los casos anteriores se encuentra en el origen, recibe el nombre de vertice (V).


Otro punto de analisis que podemos hacer es: si se aleja del origen, ya sea la directriz o el foco, los puntos que se encuentran en la parabola tendran que abrirse mas, en caso contrario, la parabola se acercara mas a su eje simetrico.




Un buen ejercicio es demostrar cuando las parabolas abren sobre los otros tres puntos cardinales restantes, en la siguiente imagen daremos el resultado de hacer estas demostraciones.



7)imagen

7)imagen

8)Parabola fuera de los ejes

Siguiendo con nuestro estudio de las parabolas, ahora vamos a ver el caso en el que la parabola esta fuera del eje XY, pero que sin embargo, son paralelas a estos dos ejes, dejando el caso en que las parabolas son inclinadas para otro tipo de caso

Ahora tenemos que, nuestro vertice va a estar dado por (h,k), y analizaremos una parabola que es paralela al eje X.


9)ecuacion general

antesde empezar debemos considerar y recordar lo siguiente


La ecuacion antes mencionada esta dada por:




Con mencion al uso de comillas en la ecuacion anterior, tenemos la siguiente expresion:








ya que tenemos los valores, ahora lo sustituiremos, por lo que nos queda:


10)analizando

si queremos hacer un ejercicio de lo anterior, y nos dan los vertices, tan solo habra que sustituir los valores a (h,k) de la ecuacion y desarrollamos el algebra.

mas adelante veremos un ejemplo donde nos dan la directriz

Por otro lado, y utilizando la ecuacion:



si p es mayor a cero entonces la parabola abre hacia la derecha.

si p es menor a cero, entonces la parabola abre hacia la izquierda


analogamente, si tomamos una parabola vertical, de la forma:




los valores de p seran hacia arriba y hacia abajo respectivamente

11)ejemplo Foco y ecuacion de la directriz

Ahora veremos un ejemplo en el que nos dan el foco, u la ecuacion de la directriz.

dado F=(3,4) y la ecuacion de la directriz dada por: X=7, dar la ecuacion.

como sabemos, de la definicion de parabola nos dice:




Sustituimos los valores a la ecuacion:



desarrollando algebraicamente, tenemos:







con lo que tenemos la ecuacion de la parabola, dada por:


domingo, 9 de mayo de 2010

Ecuación de la tangente a una parábola

Como la ecuación de la parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse empleando la condición para tangencia de una curva.

a) Para obtener la ecuación de la tangente a la parábola en un punto cualquiera de la parábola; tenemos que la ecuación de la tangente buscanda es de la forma

en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor de y dado por la ecuación (2) es sustituido en la ecuación (1), se obtiene




la cual se reduce a



Para la tangencia, el discriminante de esta ecuacion debe anularse, la cual se reduce a


de donde,
Pero, como está sobre la parábola (1), tenemos


de donde .Si sustitúimos este valor de m en (2), obtenemos, después de simplificar y ordenar términos,


De la ecuación (4), , y si se sustituye este valor en la última ecuación se obtiene la forma más común de la ecuación de la tangete,

.

b) Consideremos ahora el problema general de determinar la ecuación de la tangente de pendiente m a la parábola (1).
La ecuacion buscada es de la forma:

en donde k es la constante cuyo valor debe determinarse. si sustituimos el valor de y dado por (*)en la ecuación(1), obtenemos

que es,

La condicion para la tangencia es:

de donde,

valor que sustituimos en (*), entonces nos da la ecuacion buscada, donde m es distinta de cero.

.

jueves, 6 de mayo de 2010

Lado recto de la parabola

Es el segmento de recta comprendido por la parabola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.



Se determina mediante las coordenadas de sus extremos. sustituyendo a con x en la ecuación , se encuentra:

y

Los extremos son (a,-2a) y (a,2a)

Y la longitud del lado recto siempre sera 4a




EJERCICIOS DE LA PARABOLA

En esta seccion se presenta algunos videos en los cuales se explica la resolucion se problemas relacionados a la parabola.
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A lo largo de estos videos se pueden apreciar diferentes tipos de problemas relacionados a la parabola.

PARABOLAS EN LA FISICA.



En la física es común la aparición de parábolas, ya sea en trayectorias como el movimiento parabolico de un cuerpo al caer en el campo gravitatorio de la tierra, o en la rama de la óptica con los espejos cóncavos.


El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:
• Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.
• Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.
• Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal

En este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares. Tomaremos el eje X horizontal y el eje Y vertical. La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil. -mg.

Entonces, en virtud de la segunda ley de Newton:

Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante
Supongamos que en el instante t = 0 nuestra partícula está situada en el punto y que las componentes de la velocidad son . Y las componentes de la aceleración son las citadas anteriormente. La variación de cada coordenada con el tiempo es la de un movimiento uniforme acelerado, entonces tenemos que las velocidades estan dadas por:

y las componentes de la posicion son:

Normalmente conviene tomar el origen en la posición inicial; así, , o sea, . esta puede ser por ejemplo, la posición de una pelota en el instante de abandonar la mano del lanzador o la posición de una bala en el instante en que sale del cañón del arma de fuego.



La figura muestra la trayectoria de un proyectil que pasa por el origen en el instante t = 0. La posición, la velocidad y las componentes de la velocidad del proyectil se representan en una serie de instantes separados por intervalos regulares. Como indica la figura no cambia, pero varía en los sucesivos intervalos en cantidades iguales, que corresponden a la aceleración constante en y.
La velocidad inicial puede representarse por su magnitud (la rapidez inicial) y el ángulo o que forma con la dirección positiva en x. En función de estas cantidades, las componentes de la velocidad inicial son:


Si combinamos las ecuaciones que nos dan x y y como funciones del parametro comun t, y eliminamos este ultimo en ambas obtenemos:

que relaciona y a x, y que es la ecuacion de la trayectoria del proyectil.Puesto que y g son constantes , esta ecuacion presenta la forma;

Es decir es la ecuacion de una parabola. De ahi que la trayectoria de un proyectil sea parabolica.
Por ultimo el alcance horizontal R del proyectil, se define como la distancia sobre la horizontal donde el proyectil retorna al nivel de donde fue lanzado.Podemos determinarlo haciendo en la ecuacion de la trayectoria, una solucion surge de inmediato en ; la otra nos da el alcance.

miércoles, 5 de mayo de 2010

Parábolas en la física: Arco parabólico


Arco parabólico.

De las diversas formas de arcos usadas en construcción, una tiene la forma de un arco parabolico. Tal forma, llamada arco parabolico La longitud AC en la base se llama claro o luz; la altura máxima OB sobre la base se llama altura del arco. Si el arco parabolico se coloca de tal manera que su vértice este en el origen y su eje coincida con el eje Y, y si la longitud del claro es 2s y la altura es h, entonces podemos demostrar fácilmente que la ecuación de la parábola toma la forma


En un puente colgante, cada cable cuelga de sus soportes A y C en la forma del arco de una curva.

La distancia AC comprendida entre los soportes del cable es la luz; la distancia BO, altura vertical, se llama depresión del cable. Si los pesos de los cables son pequeños comparados con el de la carga, y si la distribución del peso de la carga es uniforme en la dirección horizontal, se desmuestra en mecánica que cada cable toma muy aproximadamente la forma de un arco parabolico.


Propiedad focal de la parábola. La parábola tiene una importante propiedad focal basada en el siguiente teorema.

Teorema. La normal a la parábola en un punto cualquiera de la parábola forma angulos iguales con el radio vector de y la recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola.

Demostración. El teorema no se particulariza si tomamos como ecuación de la parábola la forma canonica.


.......*

Designemos por n la normal a la parábola en , por l la recta que pasa por paralela al eje, y por r el radio vector . Sea el angulo formado por n y r, y el formado por n y l. vamos a demostrar que .


La pendiente de la parábola en es es
Por tanto, la pendiente de n es también la pendiente de r es, también la pendiente de r es por tanto tenemos que.



Comoesta sobre la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación *, y sustituyendo este valor de en la ultima igualdad, tenemos:....(2)

Y como la pendiente de l es 0, resulta: ....(3)

Por tanto de (2) y (3) y el teorema queda demostrado = .

Ejemplo: Si un rayo de luz toca a una superficie pulida m en el punto P, es reflejado a lo largo de otra recta, digamos .


Sea n la normal a m en P. el angulo formado por el rayo incidente reflejado y n se llama angulos de incidencia; el ángulo (beta) formado por el rayo reflejado y n se llama angulo de reflexión.
En óptica se desmuestra que la ley de reflexión establece: 1)que , n y que son coplanares, y 2) que. Por esta ley y por el teorema anterior, vemos que si un foco luminoso se coloca en el foco F de una parábola. Los rayos inciden sobre la parábola, y se reflejan según rectas paralelas al eje de la parábola. Este es el principio reflectro parabolico usado en los automóviles.





Como el sol esta tan distante de la tierra, sus rayos, en la superficie terrestre, son prácticamente ,paralelos entre si. Si un reflector parabolico se coloca de tal manera que su eje sea paralelo a los rayos del sol, los rayos incidentes sobre el reflector se reflejan de manera que todos pasan por el foco. Esta concentración de los rayos solares en el foco es el origen de la palabra foco, que es el termino latino focus empleado para designar el hogar o chimenea. Esta propiedad también se emplea en el telescopio de reflexión en el cual los rayos paralelos de luz procedentes de las estrellas se concentran en el foco.