1)introduccion

En este blog primero se vera de una manera analitica las parabolas, empezando por su ecuacion cuando se encuentra en el origen, para despues seguir su estudio cuando la parabola se encuentra fuera del origen. Con esto iremos dando tanto problemas como ejercicios de manera gradual de menor a mayor dificultad

2)Definicion de Parabola

Dado el plano XY que pertenece a R²,y los puntos:


p=(0,t)


q=(x,y)


l=Ax+By+C


Def.- La distancia de un punto sobre el eje y a un punto sobre el plano, es el mismo que, del mismo punto anterior a uno sobre una recta, analiticamente lo podemos expresar como sigue:


d ( pq)=d( ql)

3)Imagen1

3)Imagen1

4)Antes de empezar

Antes de dar la ecuacion general de la parabola, debemos saber lo siguiente:



1)la distancia esta dada por:

dados los puntos:

r=(x₁,y₁) y (x₂,y₂)

√(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²






2)Dada la ecuacion general de la recta Ax+By+C=0

El vector perpendicular a la recta dada es: (A,B)

Entonces el vector que es paralela a la recta es: (-B,A)







5)Algebra

haciendo un poco de algebra:
si sustituimos los puntos en la definicion, tenemos lo siguiente:



entonces tenemos que:



y como sabemos A=0 y B=1, tenemos que:



por la definicion de parabola, sabemos que el punto sobre la recta (C) al origen, es el mismo que del origen al punto (P), por lo anterior tenemos que B=1



elevando las dos partes al cuadrado, tenemos que:



en la primera parte se despeja la raiz cuadradoy la otra parte de la igualdad, desarrollamos la ecuacion:



la segunda parte de la igualdad, la pasamos al primer lado de la igualdad, con lo que tenemos:



sumamos el algebra, con lo que tenemos:



por ultimo,dejando a la x sola, tenemos que:



dejando asi, la ecuacion de la parabola, recordemos que definimos a la recta por debajo del eje x, y el foco sobre el eje y,por lo que esta ecuacion se aplica con estas condiciones.

6)Analizando Parabolas

con la ecuacion anterior podemos darnos cuenta que t es el punto sobre la recta, pero como lo dijimos anteriormente, la distancia de la recta al origen, es la misma que del origen a un punto dado (p), a este punto se le llama foco.

la recta (l) se le llama directriz.

La recta que esta sobre el punto(p) y es perpendicular a la directriz se le llama eje de simetria.

El punto en el cual es el que esta mas abajo de la curva o parabola en los casos anteriores se encuentra en el origen, recibe el nombre de vertice (V).


Otro punto de analisis que podemos hacer es: si se aleja del origen, ya sea la directriz o el foco, los puntos que se encuentran en la parabola tendran que abrirse mas, en caso contrario, la parabola se acercara mas a su eje simetrico.




Un buen ejercicio es demostrar cuando las parabolas abren sobre los otros tres puntos cardinales restantes, en la siguiente imagen daremos el resultado de hacer estas demostraciones.



7)imagen

7)imagen

8)Parabola fuera de los ejes

Siguiendo con nuestro estudio de las parabolas, ahora vamos a ver el caso en el que la parabola esta fuera del eje XY, pero que sin embargo, son paralelas a estos dos ejes, dejando el caso en que las parabolas son inclinadas para otro tipo de caso

Ahora tenemos que, nuestro vertice va a estar dado por (h,k), y analizaremos una parabola que es paralela al eje X.


9)ecuacion general

antesde empezar debemos considerar y recordar lo siguiente


La ecuacion antes mencionada esta dada por:




Con mencion al uso de comillas en la ecuacion anterior, tenemos la siguiente expresion:








ya que tenemos los valores, ahora lo sustituiremos, por lo que nos queda:


10)analizando

si queremos hacer un ejercicio de lo anterior, y nos dan los vertices, tan solo habra que sustituir los valores a (h,k) de la ecuacion y desarrollamos el algebra.

mas adelante veremos un ejemplo donde nos dan la directriz

Por otro lado, y utilizando la ecuacion:



si p es mayor a cero entonces la parabola abre hacia la derecha.

si p es menor a cero, entonces la parabola abre hacia la izquierda


analogamente, si tomamos una parabola vertical, de la forma:




los valores de p seran hacia arriba y hacia abajo respectivamente

11)ejemplo Foco y ecuacion de la directriz

Ahora veremos un ejemplo en el que nos dan el foco, u la ecuacion de la directriz.

dado F=(3,4) y la ecuacion de la directriz dada por: X=7, dar la ecuacion.

como sabemos, de la definicion de parabola nos dice:




Sustituimos los valores a la ecuacion:



desarrollando algebraicamente, tenemos:







con lo que tenemos la ecuacion de la parabola, dada por:


jueves, 6 de mayo de 2010

Lado recto de la parabola

Es el segmento de recta comprendido por la parabola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.



Se determina mediante las coordenadas de sus extremos. sustituyendo a con x en la ecuación , se encuentra:

y

Los extremos son (a,-2a) y (a,2a)

Y la longitud del lado recto siempre sera 4a




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