parabola: Ecuación de la tangente a una parábola

5)Algebra

haciendo un poco de algebra:
si sustituimos los puntos en la definicion, tenemos lo siguiente:

$d\left ( \overrightarrow{p,q} \right ) = d\left ( \overrightarrow{q,l} \right )$

entonces tenemos que:

$\sqrt{\left ( 0-x \right )^{2}+\left ( y-t \right )^{2}} = \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

y como sabemos A=0 y B=1, tenemos que:

$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}}=\frac{y+C}{B^{2}}$

por la definicion de parabola, sabemos que el punto sobre la recta (C) al origen, es el mismo que del origen al punto (P), por lo anterior tenemos que B=1

$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt}=y+t$

elevando las dos partes al cuadrado, tenemos que:

$\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}} \right )^{2}=\left ( y+t \right )^{2}$

en la primera parte se despeja la raiz cuadradoy la otra parte de la igualdad, desarrollamos la ecuacion:

$x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}=y^{2}-2yt-t^{2}$

la segunda parte de la igualdad, la pasamos al primer lado de la igualdad, con lo que tenemos:

$x^{2}+y^{2}-2yt+t^{2}-y^{2}-2yt-t^{2}=0$

sumamos el algebra, con lo que tenemos:

$x^{2}-4yt =0$

por ultimo,dejando a la x sola, tenemos que:

$\bg_green \large x^{2}=4yt$

dejando asi, la ecuacion de la parabola, recordemos que definimos a la recta por debajo del eje x, y el foco sobre el eje y,por lo que esta ecuacion se aplica con estas condiciones.

6)Analizando Parabolas

con la ecuacion anterior podemos darnos cuenta que t es el punto sobre la recta, pero como lo dijimos anteriormente, la distancia de la recta al origen, es la misma que del origen a un punto dado (p), a este punto se le llama foco.

la recta (l) se le llama directriz.

La recta que esta sobre el punto(p) y es perpendicular a la directriz se le llama eje de simetria.

El punto en el cual es el que esta mas abajo de la curva o parabola en los casos anteriores se encuentra en el origen, recibe el nombre de vertice (V).

Otro punto de analisis que podemos hacer es: si se aleja del origen, ya sea la directriz o el foco, los puntos que se encuentran en la parabola tendran que abrirse mas, en caso contrario, la parabola se acercara mas a su eje simetrico.

Un buen ejercicio es demostrar cuando las parabolas abren sobre los otros tres puntos cardinales restantes, en la siguiente imagen daremos el resultado de hacer estas demostraciones.

10)analizando

si queremos hacer un ejercicio de lo anterior, y nos dan los vertices, tan solo habra que sustituir los valores a (h,k) de la ecuacion y desarrollamos el algebra.

mas adelante veremos un ejemplo donde nos dan la directriz

Por otro lado, y utilizando la ecuacion:

$\bg_white \large \left ( y-k \right )^{2}=4p\left ( x-h \right )$

si p es mayor a cero entonces la parabola abre hacia la derecha.

si p es menor a cero, entonces la parabola abre hacia la izquierda

analogamente, si tomamos una parabola vertical, de la forma:

$\bg_white \large \left ( x-h \right )^{2}=4p\left ( y-k \right )$

los valores de p seran hacia arriba y hacia abajo respectivamente

domingo, 9 de mayo de 2010

Ecuación de la tangente a una parábola

Como la ecuación de la parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse empleando la condición para tangencia de una curva.

a) Para obtener la ecuación de la tangente a la parábola $y^{2}=$ en un punto cualquiera $P_{1}(x_{1},y_{1})$ de la parábola; tenemos que la ecuación de la tangente buscanda es de la forma